ИНТЕГРИРОВАННЫЙ  УРОК
 Применение методов математического моделирования для изучения биотических экологических факторов.

ЦЕЛЬ УРОКА: рассмотреть влияние на организмы комплекса биотических    
                          факторов, взаимодействующих с ними, показать ведущую роль биотических связей
                          в   эволюции, рассмотреть внутривидовые и межвидо вые взаимоотношения
                          между организмами, исполь зовать методы математического моделирования для  
                          изучения и прогнозирования экологических ситуаций.

ОБОРУДОВАНИЕ: мел, доска.

СТРУКТУРА И ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ УРОКА. МЕТОДЫ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ.

1. Постановка познавательной задачи урока перед учащимися (вводная беседа).

2. Повторение изученного материала:
    а) что такое "вид" в биологии?
    б) какова структура вида, критерии вида?
    в) что такое "популяция"?
    г) какие связи существуют между особями одной популяции?

3.Рассказ учителя об основных экологических характеристиках популяции.
    Структура популяции не стабильна. Рост и развитие организмов, соотношение рождаемости и  
    смертности, изменение окружающей среды, увеличение или уменьшение численности  
    приводит к изменению различных соотношений внутри популяции.  От структуры популяции  
    зависит направление ее дальнейших изменений.
   
а).Репродуктивный потенциал, т.е. скорость, с которой может происходить рост численности популяции при отсутствии факторов, препятствующих размножению, и при обилии пищи. Вклад отдельной особи в увеличении численности осуществляется следующими способами:
    -большее число потомков при каждом размножении;
    -увеличение продолжительности репродуктивного периода, а, следовательно, числа актов  
     размножения;
    -сдвиг размножения на более ранний период. Например, бактерия размножается лишь один раз 
     и производит двух потомков. Но ее популяция растет быстрее, чем у дуба, потому что она 
     начинает размножаться через час после своего появления, а дуб лишь через много лет.
б).Половая структура популяций также имеет большое значение для роста численности популяций. Соотношение полов устанавливается генетически, но под влиянием среды. Например, у ондатр среди новорожденных самок больше, чем самцов в 1,5 раза; у пингвинов эти различия появляются к десяти годам (самок в 2 раза больше, чем самцов); высокой смертностью самцов обладают фазаны, утки-кряквы, синицы и др.).
в).Рождаемость и смертность.
    Эти показатели популяции тесно связаны и значительно изменяют численность популяций. 1.Что такое популяционные волны жизни?
2.С чем они связаны?
3.Какова их роль в поддержании постоянства численности?
    Несмотря на волны жизни средняя численность популяции изменяется относительно мало. Как достигается такая регуляция ? Дело в том что факторы смертности зависят от плотности популяции. Чем больше плотность популяции, тем больше смертность. Основные факторы смертности - хищничество и заболевания. Вспомните теорию Мальтуса (поясняет учитель).Кроме того смертность могут вызывать факторы среды (ураган, суровая зима, засуха и др.). Рождаемость-это число новых особей, появляющихся в популяции за единицу времени в расчете на определенное число ее членов. Она определяется соотношением полов и возрастных групп, частотой повторных размножений. Например, тля дает 15 поколений в год,а  певчая цикадка -одно в 17 лет. Плодовитость. От чего зависит? (забота о потомстве: треска дает 5 млн. икринок, а горбуша-1 5ОО).
    Вывод: регуляция численности популяции сводится к балансу между рождаемостью и смертностью.
4.Теперь попытаемся применить метод математического моделирования для анализа и прогнозирования экологической ситуации в популяции. (Слово учителю информатики).

МОДЕЛЬ N1.Однородная популяция.

На ее примере продемонстрируем основные технологические модели моделирования и вы- числительного эксперимента.
    Построение математической модели.
    Пусть X(t)-численность популяции (плотность) на единицу площади;
                t-момент времени.
Через промежуток времениΔ t численность равна X(t+Δ t). Относительный прирост Δ(X)-скорость.
Считая Δ t       0 ,получим Δ(X)=X'(t).
    Так как при рост прямо пропорционален численности, то Δ(X)=k*X(t), где k-коэффициент пропорциональности (прироста).
    С учетом этого получим k*X(t)=X'(t) простейшую модель динамики популяции (мальтусовская модель). Эта простая модель не отражает того факта, что на численность популяции влияет среда обитания (пища, свет, вода и т.д.). Если учесть, что ресурсы ограничены, то получим вывод: имеется верхняя граница популяции, к которой она стремится. Недостаток ресурсов подавляет размножение - увеличивает смертность.
    Возьмем k (коэффициент прироста): k=р-с, (1)
где р - коэффициент рождаемости,
с-коэффициент смертности.
Если р>с, то k>0 и численность популяции растет. Если р<с, то k<0 и численность популяции уменьшается.
    Подставим (1) в уравнение Мальтуса, получим: X'(t)=(р-с)*X(t). (2)
    Kоэффициент смертности с зависит от плотности популяции с=с(X)=е+b*X. (3)
    Подтавим (3) в уравнение (2),получим X'(t)=(р-е-b*X)*X(t).
    Обозначим р-е=а, получим X'(t)=(а-b*X(t))*X(t).
Эта модель (Ферхюльста-Пирла) более точно отражает поведение популяции, ее взаимодействие с окружающей средой обитания.
    Заменим X'(t) на Δ(X),взяв при этом t=1 (сутки, час, мин и т.д.).
Дискретная модель имеет вид:
X[i+1] =X[i] +a*X[i] -b*X[i] , где X[0] =с, i=0,1,...,n, n-предельное время моделирования.

5.Межвидовые биотические факторы (характеризует учитель биологии).
    Вопросы беседы:
    а).Приведите примеры межвидовой борьбы за существование у животных и у растений.    
    б).Всегда ли эти взаимоотношения антагонистичны?
    в).К каким типам взаимоотношений их можно свести? (Отношения типа: хищник-жертва, 
        паразит-хозяин, симбиоз, конкуренция). Отношения типа хищник-жертва, паразит-хозяин -
        это прямые пищевые связи, которые для одного из партнеров положительны, а для другого
        отрицательны. Хищники ловят и умерщвляют животных. Паразиты используют живого
        хозяина не только как источник питания, но и как место постоянного или временного  
        обитания.
    г).Приведите примеры хищничества и паразитизма. Комменсализм (нахлебничество)
       одностороннее использование одного вида другим без нанесения ему вреда. Примеры :гиены
       подбирают остатки пищи льва, рыбы-прилипалы и акулы, киты, в жидкости насекомоядных
       растений непентесов обитают личинки комаров и и стрекоз, в гнездах птиц и норах грызунов
       обитают членистоногие, питаясь разлагающимися остатками пищи сожителей. Симбиоз -
       взаимовыгодное сожительство организмов.
    Примеры
    а) лишайники - симбиоз водоросли и гриба;
    б) сожительство деревьев с микоризными грибами, бобовых растений с клубеньковыми
        бактериями;
    в) термиты и жгутиковые простейшие (простейшие живут в кишечнике термитов и служат им
         для переваривания целлюлозы. Термиты им нужны для защиты пищи). Конкуренция -
         взаимоотношения, возникающие между видами со сходными экологическими требованиями
         (отрицательно сказываются на обоих взаимодействующих партнерах). Приведите примеры
         данного типа взаимоотношений (по учебнику). Нейтрализм - сожительство организмов,
         которое не влечет за собой ни положительных, ни отрицательных последствий. Например,
         белки и лоси не контактируют, но угнетение леса сказывается и на них.
    6. Теперь давайте попробуем составить модель отношения жертва-хищник.

Учитель информатики.
    Имеются популяции двух видов, один из которых питается другим. Поведение этой системы описывается соотношениями:

X[i+1] =X[i] +a1 *X[i] -b1*X[i] -q1 *X[i] *Y[i] , X =c;
Y[i+1] =Y[i] +a2 *Y[i] -b2 *Y[i] -q2 *X[i] *Y[i] , Y =c,
где X - численность жертв, Y - численность хищников,
      a1, b1 (a2 , b2 ) - коэффициенты рождаемости и смертности жертв (хищников),
      q1 - коэффициент защиты жертв,
      q2 - коэффициент прожорливости хищников.
Считается, что хищников рождается меньше, чем умирает.

МОДЕЛЬ N3. Биологический культиватор.
Рассмотрим устройство, в котором происходит размножение бактерий со скоростью a, гибели со скоростью b, приток извне со скоростью s. Изменение концентрации бактерий в таком культиваторе описывается соотношением
X[i+1] =X[i] +a*X[i] -b*X[i] +s , X0 =c , i=0,1,...,n.

МОДЕЛЬ N4.Популяция,дающая урожай (промысловые рыбы).
Динамика популяции описывается соотношением X[i+1] =X[i] +a*X[i] -b*X[i] -k*X[i] ,
X0 =c , i=0,1,...,n, где k-задаваемый коэффициент сбора урожая (скорость  изъятия особей).

8.Заключительная часть урока. Подведение итогов.

9.Домашнее задание: п. 22,повторить п. 6,7.Конспекты.

        kx+c1           kx    c1                  kx
y = e , или y = e * e , или y =c*e

                           kx
f(x) = c * e,

                                                                 kx
Проверка: f'(x) = c * k * e

                     kx                         kx
c * k * e = k * c * e.

Пояснить каждый этап, обратить внимание на то, что самое сложное - это построение модели.

Четко сформулировать задачу - это значит высказать те предположения, которые позволят в море информации об изучаемом явлении или объекте выудить исходные данные, определить, что будет служить результатом, и какова связь между исходными данными и результатом. Все это: предположения, исходные данные, результаты и связи между ними - называют моделью задачи.

Искусство составления моделей как раз и заключается в том, чтобы, не переусложнив модель, учесть в ней все существенное и отбросить второстепенное. Не в этом ли состоит искусство вообще? Ведь, пожалуй, каждый вид искусства, будь то живопись скульптура, театр, - это создание моделей жизненных явлений с использованием присущих ему выразительных средств.

Составить хорошую модель задачи - дело не простое. Даже если решить эту задачу предстоит вам самим. А если модель надо будет объяснить компьютеру? В этом случае придется учитывать "способности" ЭВМ. Если, скажем, ЭВМ "умеет" только вычислять, то, высказывая предположения, нужно позаботиться о том, чтобы исходные данные и результаты были числами, а связи между ними - математическими соотношениями. Выполнив такой "перевод" задачи на язык математики, вы получите модель, которую обычно называют математической моделью.

Вы давно знакомы с математическими моделями, хотя ранее, быть может, и не встречали этого термина. Напомнить задачи из курса математики, алгебры, геометрии.

Вообще какую бы жизненную задачу ни взялся решать человек, первым делом он строит модель - иногда осознанно, а иногда и нет. Ведь бывает так - вы напряженно ищите выход из трудной ситуации,

пытаясь нащупать, за что можно ухватиться. И вдруг приходит озарение... Что же произошло? Это сработало замечательное свойство нашего разума - умение безотчетно, словно по какому-то волшебству, уловить самое важное, превратить информационный хаос в стройную модель стоящей перед человеком задачи.

3. Математическая модель не тождественна историческому объекту, а является приближенным описанием его наиболее существенных свойств на языке математических понятий, в том числе, и дифференциальных уравнений. Еще Г.Галлилей говорил, что книга природы написана на языке математики. Как и всякий результат процесса познания математическая модель исторического процесса всегда имеет относительный характер. Она выступает как относительная истина, как некоторое приближение к абсолютной исторической истине.

Построение математической модели исторического объекта позволяет поставить задачу его изучения, как математическую.

В качестве математических моделей исторических явлений и процессов, протекающих в пространстве и во времени выступают, как правило, дифференциальные уравнения и системы этих уравнений.

В качестве примера рассмотрим одну из простейших моделей роста численности населения в заданном регионе (КБР).

Пусть Y = Y(t) - численность населения, живущего или жившего на ограниченной территории в момент времени t из промежутка [ t0, T ].

Допустим, что средняя скорость роста населения на одного человека (коэффициент прироста) - k

k = kp - kc, где kp - коэффициент рождаемости, kc - коэффициент смертности.

Прирост населения за время D t = t - t0

Y = kY D t

Разделим на D t

Y/Δt = kY

При D t  стремящемся к 0 в левой части - производная Y' = kY

                       k D t
Y = Y0 e       - решение этого дифференциального уравнения,

где Y0 - численность населения в начальный момент времени t0,t - текущий момент времени.

                               k(t-t0)
y(t) = y0 * e             - дискретная модель.

Пусть численность населения изменяется через z лет (1, 2, 3, ... лет), тогда

                                         k(t + z - t0)
Y (t + z) = Y0*e

                                         k(t-t0)+kz
Y (t + z) = Y0*e

                                         k(t-t0)    kz
Y (t + z) = Y0*e    *e

                                                                                         kz
Следовательно, Y (t + z) = Y(t) * e.

Из этой формулы следует, что численность населения возрастает

                                                                                                                             kz
в геометрической прогрессии со знаменателем e , тогда как время t возрастает в арифметической прогрессии с разностью z. Это замечено еще в 18 веке Мальтусом (английский экономист и священник). По его мнению средства существования могут возрастать только в арифметической прогрессии и что рано или поздно их станет недостаточно.

Т. Мальтус (1798 г.) первый ввел модель неограниченного роста. Опираясь на эту модель, он пытался обосновать неизбежность войн и других кризисных явлений социально-политической жизни человеческого общества. Он ввел понятие демографического давления как показателя превышения численности населения, проживающего на данной территории, над возможностью данной территории обеспечить это население продовольствием. Из его рассуждений делался вывод о необходимости постоянного расширения жизненного пространства, и этот вывод использовался для построения и оправдания расовых и (или)националистических теорий.

Проанализируем эту ситуацию с позиции модельного подхода. В модели неограниченного роста в качестве существенных принимались только биологические факторы. Но если живые организмы образуют сообщества (стада, стаи и т.п.), то вступают в силу иные факторы, характерные для данного сообщества. Их можно было бы назвать социальными, хотя термин "социальные" обычно применяют к сообществам людей. Что касается человека, то для него одним из важнейших социальных факторов является развитие науки и производства. Скажем, за счет применения удобрений с той же сельскохозяйственной территории стали снимать в несколько раз больший урожай, а значит, та же территория способна прокормить большее население, чем прежде.

Поэтому, с точки зрения информатики состоятельность применения модели неограниченного роста к человеческому обществу состоит уже в том, что учтены не все существенные факторы, а сама модель применяется не в той области, где она является адекватной, - в области социально-политической, а не чисто биологической.

И эта модель относительна, т.к. уравнение

Y' = k*Y

не учитывает известный биологический факт: всякий вид (в том числе и человеческий), став слишком многочисленным, сам ограничивает свой собственный рост. Кроме того не учтены следующие факты: миграция населения, войны, природные условия и т.д. Например, в 1999 г. очень мало детей в возрасте 7 лет пришли в 1 класс в нашу школу. Как вы думаете с чем это связано? (Вспомнить социально политическую обстановку в стране 7 лет назад)

ЗАДАНИЕ. Пусть Y(t) - численность населения в определенные годы в КБР:

Y(1975) = 647,8 тыс.

Y(1980) = 681,1 тыс.

Y(1985) - ?

РЕШЕНИЕ.

                                              k5                5k      5k
1). Y(1980+5) = Y(1980)*e = 681,1*e , e - ?

                                             5k
2). Y(1975+5) = Y(1975)*e

                           5k
681,1 = 647,8*e

  5k
e = 681,1 : 647,8

  5k
e = 1,0514047

3). Y(1985) = 681,1*1,0514047 = 718,15 тыс. человек.

ВЫВОД: сегодня мы рассмотрели связь между предметами физики, 
       алгебры, информатики, истории; получили
       математическую модель роста численности населения.  
       Выяснили, что эта модель не универсальна. Как вы
       думаете зачем она тогда нужна? (Применяется в
       статистике для проведения сравнительной
       характеристики: что получается в идеале и в
       жизни).

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: п.44, N 568 (а,в); 570. Составить программу на языке Бейсик для вычисления
                                        численности населения на ЭВМ.

Подробнее об этом уроке, проведённом по методу проектов с использованием ИКТ, можно ознакомиться на сайте:

 http://www.matmod2006.narod.ru